미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 도형 둘레 급수

문제

그림과 같이 A1B1‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}} = 1, A1D1‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} D _{1}}} = 2인 직사각형 A1B1C1D1\mathrm{A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}에 대하여 선분 A1D1\mathrm{A _{1} D _{1}}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하자. 선분 A1D1\mathrm{A _{1} D _{1}}을 지름으로 하는 반원과 선분 A1M\mathrm{A _{1} M}과 선분 MD1\mathrm{MD} _{1}을 각각 지름으로 하는 두 반원을 그려서 얻은 모양의 도형의 둘레의 길이를 l1l _{1}이라 하자. 선분 MB1\mathrm{MB} _{1}과 선분 MC1\mathrm{MC} _{1}이 선분 A1D1\mathrm{A _{1} D _{1}}을 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 각각 B2\mathrm{B} _{2}, C2\mathrm{C} _{2}라 하고, 점 B2\mathrm{B} _{2}와 점 C2\mathrm{C} _{2}에서 선분 A1D1\mathrm{A _{1} D _{1}}에 내린 수선의 발을 각각 A2\mathrm{A} _{2}, D2\mathrm{D} _{2}라 하자. 선분 A2D2\mathrm{A _{2} D _{2}}를 지름으로 하는 반원과 선분 A2M\mathrm{A _{2} M}과 선분 MD2\mathrm{MD} _{2}를 각각 지름으로 하는 두 반원을 그려서 새로 얻은 모양의 도형의 둘레의 길이를 l2l _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 모양의 도형의 둘레의 길이를 lnl _{n}이라 할 때, ∑n=1∞ln\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n}의 값은? [4점]

①(1+2)π\displaystyle ( 1 + \sqrt{2} ) \pi②(2+2)π\displaystyle ( 2 + \sqrt{2} ) \pi③(3+22)π\displaystyle ( 3 + 2 \sqrt{2} ) \pi④(4+22)π\displaystyle ( 4 + 2 \sqrt{2} ) \pi⑤(5+32)π\displaystyle ( 5 + 3 \sqrt{2} ) \pi

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④

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해설

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 문제해결하기 ⅰ) l1=12×2π+2×12×π=2π\displaystyle l _{1} = \frac{1}{2} \times 2 \pi + 2 \times \frac{1}{2} \times \pi = 2 \pi

ⅱ)M\mathrm{M} An{\mathrm{A}} _{n} Bn{\mathrm{B}} _{n} An+1{\mathrm{A}} _{n+1} Bn+1{\mathrm{B}} _{n+1}

위 그림에서 AnM‾=MBn+1‾\displaystyle \overline{\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{M}} = \overline{\mathrm{M} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}}이고 삼각형 An+1Bn+1M\mathrm{A} \mathit{_{\mathit{n} + 1}} \mathrm{B} \mathit{_{\mathit{n} + 1}} \mathrm{M}은 직각이등변삼각형이므로 An+1M‾=22MBn+1‾=22AnM‾\displaystyle \overline{\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} \mathrm{M}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \overline{\mathrm{MB} _{\mathit{n} + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \overline{\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} \mathrm{M}}이다. ∴\therefore ln+1=π×An+1M‾+2×π×12An+1M‾\displaystyle l _{n+1} = \pi \times \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} M} + 2 \times \pi \times \frac{1}{2} \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} M} =2π×An+1M‾=2π×22AnM‾\displaystyle = 2 \pi \times \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} M} = 2 \pi \times \frac{\sqrt{2}}{2} \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} M} =22ln\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} l _{n} ⅰ), ⅱ)에 의하여 수열 {ln}\left\{ l _{n} \right\}은 첫째항이 2π2 \pi, 공비가 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}인 등비수열이다. 따라서 ∑n=1∞ln=2π1−22=(4+22)π\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n} = \frac{2 \pi}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = ( 4 + 2 \sqrt{2} ) \pi

태그

#등비급수#도형

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