미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 도형 등비급수

문제

중심이 OO, 반지름의 길이가 2이고 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 OABOAB가 있다. 그림과 같이 부채꼴 OABOAB의 내부에 선분 OAOA를 지름으로 하는 반원과 선분 OBOB를 지름으로 하는 반원을 그린 후 두 반원의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 그려진 두 반원이 만나는 점 중에서 점 OO가 아닌 점을 중심으로 하고 반지름이 선분 OAOA, 선분 OBOB와 각각 평행하면서 호 ABAB와 한 점에서 만나는 부채꼴을 두 반원의 외부에 그리고 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 두 반원을 그린 후 새로 그려진 두 반원의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [4점]

①22−17(π−2)\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} - 1}{7} ( \pi - 2 )②22+17(π−2)\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} + 1}{7} ( \pi - 2 )③22−17(π−1)\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} - 1}{7} ( \pi - 1 )④22+17(π−1)\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} + 1}{7} ( \pi - 1 )⑤22+17(π+1)\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} + 1}{7} ( \pi + 1 )

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②

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해설

[출제의도] 도형에서 등비급수의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

그림과 같이 두 반원의 호가 만나는 점을 P\mathrm{P}라 하고 점 P\mathrm{P}에서 선분 OA\mathrm{OA}에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q}, 직선 OP\mathrm{OP}와 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}의 호 AB\mathrm{AB}가 만나는 점을 R\mathrm{R}라 하면 PQ‾=OQ‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{OQ}} = 1, OP‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{2}, PR‾=2−2\displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = 2 - \sqrt{2} 그림 R1R _{1}에서 그려진 도형의 넓이 S1S _{1}은 부채꼴 QOP\mathrm{QOP}의 넓이에서 삼각형 QOP\mathrm{QOP}의 넓이를 뺀 값의 22배이므로 S1=2(π4−12)=π2−1\displaystyle S _{1} = 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} - 1 중심각이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 22인 부채꼴과 중심각이 P\mathrm{P}이고 반지름의 길이가 2−2\displaystyle 2 - \sqrt{2}인 부채꼴은 중심각이 90∘90 ^\circ이므로 닮은 도형이다. 닮음의 비가 m:nm : n이면 넓이의 비가 m2:n2m ^{2} : n ^{2}이므로 구하는 등비급수의 공비를 rr라 하면 r=(PR‾OR‾)2=(2−22)2=3−222\displaystyle r = \left( \frac{\overline{\mathrm{PR}}}{\overline{\mathrm{OR}}} \right) ^{2} = \left( \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \right) ^{2} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn=S11−r\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \frac{S _{1}}{1 - r} =π−221−3−222\displaystyle = \frac{\frac{\pi - 2}{2}}{1 - \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}}=π−222−1\displaystyle = \frac{\pi - 2}{2 \sqrt{2} - 1} =22+17(π−2)\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2} + 1}{7} ( \pi - 2 )

태그

#등비급수#닮음

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