미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

반원 부채꼴 넓이차 극한

문제

그림과 같이 길이가 11인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 BP‾=BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}가 되도록 선분 AB\mathrm{AB} 위의 점 C\mathrm{C}를 잡고, AC‾=AD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{AD}}}가 되도록 선분 AP\mathrm{AP} 위의 점 D\mathrm{D}를 잡는다. ∠PAB=θ\angle {\mathrm{PAB}} = \theta에 대하여 선분 CD\mathrm{CD}를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 ∠PCD\angle \mathrm{PCD}인 부채꼴의 넓이를 S(θ)S \left( \theta \right), 선분 CP\mathrm{CP}를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 ∠PCD\angle \mathrm{PCD}인 부채꼴의 넓이를 T(θ)T \left( \theta \right)라 할 때, lim⁡θ→0+T(θ)−S(θ)θ2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{T \left( \theta \right) - S \left( \theta \right)}{\theta ^{2}}}의 값은? (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}이고 ∠PCD\angle \mathrm{PCD}는 예각이다.) [4점]

①π16\displaystyle \frac{\pi}{16}②π8\displaystyle \frac{\pi}{8}③316π\displaystyle \frac{3}{16} \pi④π4\displaystyle \frac{\pi}{4}⑤516π\displaystyle \frac{5}{16} \pi

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②

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

AB‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 1이고 ∠APB=π2\displaystyle \mathrm{\angle} APB = \frac{\pi}{2}이므로 BP‾=sin⁡θ=BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \sin \theta = \mathrm{\overline{BC}}, AC‾=1−sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 1 - \sin \theta 삼각형 ACD\mathrm{ACD}에서 ∠ACD=π2−θ2\displaystyle \mathrm{\angle} ACD = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}이고 삼각형 BPC\mathrm{BPC}에서 ∠BCP=π4+θ2\displaystyle \mathrm{\angle} BCP = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}이므로 ∠PCD=π4\displaystyle \mathrm{\angle} PCD = \frac{\pi}{4} 점 A\mathrm{A}에서 CD‾\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 CD‾=2CH‾=2AC‾sin⁡θ2=2(1−sin⁡θ)sin⁡θ2\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 2 {\overline{CH}} = 2 {\overline{AC}} \sin \frac{\theta}{2} = 2 \left( 1 - \sin \theta \right) \sin \frac{\theta}{2} ∴\thereforeS(θ)S \left( \theta \right)=12×4(1−sin⁡θ)2sin⁡2θ2×π4\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \left( 1 - \sin \theta \right) ^{2} \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \times \frac{\pi}{4} =π2×(1−sin⁡θ)2sin⁡2θ2\displaystyle = \frac{\pi}{2} \times \left( 1 - \sin \theta \right) ^{2} \sin ^{2} \frac{\theta}{2} 점 B\mathrm{B}에서 CP‾\displaystyle \mathrm{\overline{CP}}에 내린 수선의 발을 I\mathrm{I}라 하면 CP‾=2CI‾=2BC‾cos⁡(π4+θ2)=2sin⁡θcos⁡(π4+θ2)\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = 2 {\overline{CI}} = 2 {\overline{BC}} \cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = 2 \sin \theta \cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) ∴\thereforeT(θ)T \left( \theta \right)=12×4sin⁡2θcos⁡2(π4+θ2)×π4\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \times \frac{\pi}{4} =π2sin⁡2θcos⁡2(π4+θ2)\displaystyle = \frac{\pi}{2} \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) lim⁡θ→0+T(θ)−S(θ)θ2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{T \left( \theta \right) - S \left( \theta \right)}{\theta ^{2}}} =lim⁡θ→0+π2{sin⁡2θcos⁡2(π4+θ2)−(1−sin⁡θ)2sin⁡2θ2θ2}\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\pi}{2} \left\{ \frac{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) - \left( 1 - \sin \theta \right) ^{2} \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}{\theta ^{2}} \right\}} =lim⁡θ→0+π2{sin⁡2θcos⁡2(π4+θ2)θ2−(1−sin⁡θ)2sin⁡2θ24×θ24}\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\pi}{2} \left\{ \frac{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right)}{\theta ^{2}} - \frac{\left( 1 - \sin \theta \right) ^{2} \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}{4 \times \frac{\theta ^{2}}{4}} \right\}} =π2(1×12−14×1)=π8\displaystyle = \frac{\pi}{2} \left( 1 \times \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \times 1 \right) = \frac{\pi}{8}

태그

#삼각함수의 극한#도형

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