공통수학2원의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반지름의 길이의 최댓값

문제

xx, yy 에 대한 방정식 x2+y2+2ax−4y+2a2+2a−4=0x ^{2} + y ^{2} + 2 ax - 4 y + 2 a ^{2} + 2 a - 4 = 0 이 원을 나타낼 때, 이 원의 반지름의 길이의 최댓값은? (단, aa 는 실수이다.) [3점] ①22②5\displaystyle \sqrt{5}③22\displaystyle 2 \sqrt{2}④33⑤10\displaystyle \sqrt{10}

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④

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해설

x2+y2+2ax−4y+2a2+2a−4=0x ^{2} + y ^{2} + 2 ax - 4 y + 2 a ^{2} + 2 a - 4 = 0 을 변형하면 (x+a)2+(y−2)2=a2+4−2a2−2a+4\left( x + a \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = a ^{2} + 4 - 2 a ^{2} - 2 a + 4 즉, 반지름의 길이를 rr 라 하면 r2=−a2−2a+8r ^{2} = - a ^{2} - 2 a + 8 r2=−(a+1)2+9r ^{2} = - \left( a + 1 \right) ^{2} + 9 이므로 a=−1a = - 1 일 때 r2r ^{2} 은 최댓값 99 를 갖는다. 이때 −a2−2a+8=9>0- a ^{2} - 2 a + 8 = 9 > 0 이므로 실제로 원이 된다. 따라서 반지름의 길이의 최댓값은 33 이다. 답 ④

태그

#원의 방정식#반지름#최댓값

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