공통수학2원의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반지름이 변하는 두 원의 위치 관계 판정

문제

양수 rr에 대하여 두 원 C1:x2+y2=16C _{1} : x ^{2} + y ^{2} = 16, C2:(x−6)2+(y−8)2=r2C _{2} : ( x - 6 ) ^{2} + ( y - 8 ) ^{2} = r ^{2}이 있다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기> ㄱ. r=6r = 6이면 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}는 외접한다. ㄴ. r=12r = 12이면 원 C1C _{1}은 원 C2C _{2}의 내부에 있다. ㄷ. 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}가 만나도록 하는 rr의 값의 범위는 6≤r≤146 \leq r \leq 14이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

두 원의 중심은 각각 (0,0)( 0 , 0 ), (6,8)( 6 , 8 )이고 반지름의 길이는 각각 44, rr이다. 중심 사이의 거리는 62+82=10\displaystyle \sqrt{6 ^{2} + 8 ^{2}} = 10 ㄱ. r=6r = 6이면 두 반지름의 길이의 합이 4+6=104 + 6 = 10으로 중심 사이의 거리와 같으므로 두 원은 외접한다. (참) ㄴ. r=12r = 12이면 두 반지름의 길이의 차는 12−4=812 - 4 = 8, 합은 1616이고 8<10<168 < 10 < 16이므로 두 원은 서로 다른 두 점에서 만난다. 곧 원 C1C _{1}은 원 C2C _{2}의 내부에 있지 않다. (거짓) ㄷ. 두 원이 만나려면 ∣r−4∣≤10≤r+4\left| r - 4 \right| \leq 10 \leq r + 4이어야 한다. 10≤r+410 \leq r + 4에서 r≥6r \geq 6, ∣r−4∣≤10\left| r - 4 \right| \leq 10에서 −6≤r≤14- 6 \leq r \leq 14 따라서 6≤r≤146 \leq r \leq 14이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

태그

#두 원의 위치 관계#참거짓#반지름

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