기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

반구와 두 평면 부피

문제

좌표공간에서 반구 x2+y2+z2=9x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 9(z≥0)( z \geq 0 )와 두 평면 y−3z=0\displaystyle y - \sqrt{3} z = 0, y+3z=0\displaystyle y + \sqrt{3} z = 0으로 둘러싸인 도형의 부피를 VV라 할 때, Vπ\displaystyle \frac{V}{\pi}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 공간도형에서 입체의 부피를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 입체를 yzyz평면으로 자르면 단면은 아래 그림과 같고, 중심각이 2π3\displaystyle \frac{2 \pi}{3}인 부채꼴이 된다. 따라서 구의 중심을 지나는 평면으로 33등분한 입체가 된다.

∴Vπ=13×43×33=12\displaystyle \therefore \frac{V}{\pi} = \frac{1}{3} \times \frac{4}{3} \times 3 ^{3} = 12

태그

#구#부피

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