반구에 접하는 평면

반구의 중심을 $\mathrm{O}$이라 하고, $\mathrm{O}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 H라 하면 H(0, 4, 0)이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{O H}} = 5$ $\cdots \cdots$㉠ 이 때, $y$축을 포함하는 평면 $\alpha$와 반구의 접점을 Q라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{O}} Q = 3$ $\cdots \cdots$㉡ 또한, $\displaystyle \mathrm{\overline{O}} Q \perp \alpha$, $\displaystyle \mathrm{\overline{O}} H \perp \overline{OH}$ 이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} \perp \overline{QH}$이다. ∴$\displaystyle \mathrm{\overline{QH}} = \sqrt{5 ^{2} - 3 ^{2}} = 4$ $\cdots \cdots$㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 각이 $\theta = \angle \mathrm{QHO}'$ 이므로 $\displaystyle \cos \theta \mathrm{=} \frac{\overline{QH}}{\overline{O}} H = \frac{4}{5}$ ∴ $30 \cos \theta = 24$