미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

반구 잘린 입체 부피

문제

반지름의 길이가 $1$ 인 구를 두 개의 반구로 나누었다. 그림과 같이 구의 중심 $\mathrm{O}$ 로부터 거리가 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 인 곳에서 반구의 단면에 수직인 평면으로 반구를 잘랐다. 이 때, 생긴 두 입체 중에서 작 은 입체의 부피는? [2점]

① $\displaystyle \frac{1}{5} \pi$ ② $\displaystyle \frac{1}{12} \pi$ ③ $\displaystyle \frac{5}{48} \pi$ ④ $\displaystyle \frac{2}{27} \pi$ ⑤ $\displaystyle \frac{7}{36} \pi$

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③

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해설

구하는 입체의 부피 $V _{x}$ 는 좌표평면상에서 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 의 $\displaystyle \frac{1}{2} \leq x \leq 1$ 의 부분을 $x$ 축을 회전축으로 하여 회전한 입체의 부피의 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 과 같으므로 $\displaystyle \begin{aligned} \therefore V _{x} = \frac{1}{2} \pi \int _{\frac{1}{2}} ^{1} {} y ^{2} dx & = \frac{1}{2} \pi \int _{\frac{1}{2}} ^{1} {} ( 1 - x ^{2} ) dx \end{aligned}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \pi \left[ x - \frac{1}{3} x ^{3} \right] _{\frac{1}{2}} ^{1} = \frac{5}{48} \pi$

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