방정식의 양의 실근 개수

[출제의도] 근의 조건이 주어진 방정식에서 미분을 이용하여 정수 $k$를 구할 수 있는가? 방정식 $2 x ^{3} - 6 x ^{2} + k = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 에서 $f ( x ) = 2 x ^{3} - 6 x ^{2} + k$ 라 하면 방정식의 실근은 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 $x$축이 만나는 점의 $x$좌표이다. 한편, $f' ( x )$$= 6 x ^{2} - 12 x$$= 6 x ( x - 2 )$ 이므로 $f' ( x ) = 0$ 에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 그러므로 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

이때, ㉠이 $2$개의 서로 다른 양의 실근을 갖기 위해서는 다음 그림과 같아야 한다.

즉, 함수 $f ( x )$의 극댓값은 양수이어야 하고 함수 $f ( x )$의 극솟값은 음수이어야 한다. 그러므로 $k > 0$이고 $k - 8 < 0$ 이므로 $0 < k < 8$ 따라서, 정수 $k$는 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$로 그 개수는 $7$이다.