방정식의 실근 개수

$\displaystyle f ( x ) + g ( x ) = \frac{1}{f ( x )} + \frac{1}{g ( x )}$ 양변에 $f ( x ) g ( x )$를 곱하여 정리하면 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} g ( x ) + f ( x ) \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - g ( x ) - f ( x )$$= 0$ $\left\{ f ( x ) g ( x ) - 1 \right\} \left\{ f ( x ) + g ( x ) \right\} = 0$ ∴ $f ( x ) g ( x ) = 1$ 또는 $f ( x ) = - g ( x )$ 먼저, $f ( x ) = - g ( x )$에서 $f ( x ) \neq 0$, $g ( x ) \neq 0$이므로 실근의 개수는 $2$이다. $f ( x ) g ( x ) = 1$에서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{g ( x )}$이고 $y = g ( x )$의 그래프는 $( 2 , 0 )$을 지나고, 기울기가 음수이므로 $g ( x ) = k ( x - 2 ) ( k < 0 )$로 나타낼 수 있다. 따라서, $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{g ( x )}$에서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{k ( x - 2 )}$

이때, $1 < g ( 0 )$에서 $1 \leftarrow 2 k$이다. 따라서, $\displaystyle y = \frac{1}{k ( x - 2 )}$에서 $x = 0$일 때, $\displaystyle y = \frac{1}{- 2 k}$이고, $\displaystyle - \frac{1}{2 k} < 1$이다. 따라서, 그림에서 방정식 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{g ( x )}$의 실근의 개수는 $2$이다. 따라서, 구하는 실근의 개수는 $4$이다.