미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

방정식 실근 개수

문제

닫힌 구간 $\left[ 0 , {2 \pi} \right]$ 에서 $x$ 에 대한 방정식 $\sin x - x \cos x - k = 0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 정수 $k$ 의 값의 합은? [4점] ① $- 6$ ② $- 3$ ③ $0$ ④ $3$ ⑤ $6$

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⑤

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 함수 $f ( x ) = \sin x - x \cos x$ 라 하면 $f' ( x ) = \cos x - ( \cos x - x \sin x )$ $= x \sin x$

$x$	$0$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$2 \pi$
$f' ( x )$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f ( x )$	$0$	$\nearrow$	$\pi$	$\searrow$	$- 2 \pi$

방정식 $f ( x ) = k$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 가 되려면 $0 \leq k < \pi$ 따라서 정수 $k$ 는 $0$ , $1$ , $2$ , $3$ 이므로 합은 $6$

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