공통수학2집합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

방정식 해 집합

문제

다항식 $f ( x ) = x ^{2} + ax + b$ , $g ( x ) = x ^{2} - 3 x + c$ 에 대하여 두 집합 $A = \left\{ x | f ( x ) = g ( x ) \right\}$ , $B = \left\{ x | f ( x ) g ( x ) = 0 \right\}$ 이다. $A = \left\{ 2 \right\}$ , $B = \left\{ 2 , 3 , d \right\}$ 일 때, 상수 $a , b , c , d$ 에 대하여 $a + b + c + d$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 인수정리를 이용하여 미정계수 구하기 $2 \in A \cap B$ 이므로 $f ( 2 ) = g ( 2 )$ 이고 $f ( 2 ) g ( 2 ) = 0$ 따라서 $f ( 2 ) = g ( 2 ) = 0$ $g ( 2 ) = 4 - 6 + c = 0$ ∴ $c = 2$ $g ( x ) = x ^{2} - 3 x + 2 = ( x - 1 ) ( x - 2 )$ $g ( 1 ) = 0$ 이므로 $1 \in B$ ∴ $d = 1$ $B = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$ 에서 $f ( 3 ) = 0$ $f ( 2 ) = f ( 3 ) = 0$ 이므로 $f ( x ) = ( x - 2 ) ( x - 3 ) = x ^{2} - 5 x + 6$ 에서 $a = - 5$ , $b = 6$

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