미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

방향이 바뀌지 않는 운동

문제

수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}의 시각 t(t≥0)t ( t \geq 0 )에서의 위치 xx가 x=t3−5t2+at+5x = t ^{3} - 5 t ^{2} + a t + 5 이다. 점 P\mathrm{P}가 움직이는 방향이 바뀌지 않도록 하는 자연수 aa의 최솟값은? [4점]

①99②1010③1111④1212⑤1313

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①

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해설

x=t3−5t2+at+5x = t ^{3} - 5 t ^{2} + at + 5를 tt에 대해 미분하면 dxdt=3t2−10t+a\displaystyle \frac{dx}{dt} = 3 t ^{2} - 10 t + a이다. 움직이는 방향이 바뀌지 않기 위해서는 D4≤0\displaystyle \frac{D}{4} \leq 0이어야 하므로 D4=52−3a≤0\displaystyle \frac{D}{4} = 5 ^{2} - 3 a \leq 0에서 a≥253\displaystyle a \geq \frac{25}{3}이다. 따라서 자연수 aa의 최솟값은 99이다.

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