반각 탄젠트 계산

[출제의도] 반각의 공식을 이용하여 계산하기 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{4}{5}$이고 $\displaystyle \tan ^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{9}{5}} = \frac{1}{9}$이므로 $\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$ $\cdots \cdots$㉠ $\displaystyle \cos \beta = \frac{12}{13}$이고 $\displaystyle \tan ^{2} \frac{\beta}{2} = \frac{\frac{1}{13}}{\frac{25}{13}} = \frac{1}{25}$이므로 $\displaystyle \tan \frac{\beta}{2} = \frac{1}{5}$ $\cdots \cdots$㉡ 따라서, ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle \tan \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} \right) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{15}} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$이므로 $p + q = 11$이다.