반복 이동한 점이 직선 위에 있을 조건

점 $\mathrm{P} _{n} \mathit{(} x , y )$이면 $\mathrm{P} _{n + 1} \mathit{(} y + 3 , x )$이다. 이 이동을 두 번 하면 $( x , y ) \rightarrow ( y + 3 , x ) \rightarrow ( x + 3 , y + 3 )$ 이므로 점 $\mathrm{P} _{n + 2}$는 점 $\mathrm{P} _{n}$을 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 점이다. $\mathrm{P} _{1} \mathit{(} 1 , 2 )$, $\mathrm{P} _{2} \mathit{(} 5 , 1 )$이므로 자연수 $k$에 대하여 $\mathrm{P} _{2 k - 1} \mathit{(} 3 k - 2 , 3 k - 1 )$, $\mathrm{P} _{2 k} \mathit{(} 3 k + 2 , 3 k - 2 )$ $\mathrm{P} _{2 k - 1}$의 $x$좌표와 $y$좌표의 합은 $6 k - 3$이고, $\mathrm{P} _{2 k}$의 $x$좌표와 $y$좌표의 합은 $6 k$이다. $6 k = 99$인 자연수 $k$는 없고, $6 k - 3 = 99$에서 $k = 17$ 따라서 $n = 2 \times 17 - 1 = 33$ [확인] $\mathrm{P} _{33} \mathit{(} 49 , 50 )$이고 $49 + 50 = 99$이다.