미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

반복 계산의 극한값

문제

표는 어떤 프로그램을 이용하여 $\mathrm{A} _{1} = 25$ 일 때, $\displaystyle \mathrm{A} _{2} = \frac{2}{3} \times A _{1} + 3$ 에 의해서 $\mathrm{A} _{2} = 19.6666667$ 을 구하고, $\displaystyle \mathrm{A} _{3} = \frac{2}{3} \times {A _{2} + 3}$ 에 의해서 $\mathrm{A} _{3} = 16.1111111$ 을 구하고, 이와 같은 방법으로 $\mathrm{A} _{4}$ , $\mathrm{A} _{5}$ , $\mathrm{A} _{6}$ , $\cdots$ 을 구한 결과의 일부를 나타낸 것이다. $\mathrm{A} _{1}$ , $\mathrm{A} _{2}$ , $\mathrm{A} _{3}$ , $\cdots$ , $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ , $\cdots$ 의 값은 어떤 일정한 수 $\alpha$ 에 한없이 가까워진다. 이때, $\alpha$ 의 값은? (단, 표에 제시된 값은 소수점 이하 $8$ 번째 자리에서 반올림한 것이다.) [3점]

$\displaystyle = \frac{\mathrm{2}}{3} \times A _{1} + 3$ $f ( x )$

① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$

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③

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해설

[출제의도] 극한값 구하기 계산하는 식을 수열의 귀납적 정의로 표현하면 $\mathrm{A} _{1} = 25$ , $\displaystyle \mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} = \frac{2}{3} {A _{\mathit{n}}} + 3$ ( $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$ )이고 $\displaystyle {\left. \mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} - 9 = \frac{2}{3} {\left( {A _{\mathit{n}}} - 9 \right)} \right.}$ 그러므로 일반항은 $\displaystyle {\mathrm{A}} _{\mathit{n}} = 16 \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-1} + 9$ 이다. $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {{\mathrm{A}} _{n}} = 9$

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