배수 명제의 대우와 순서쌍

실마리: 명제를 대우로 뒤집으면 ‘$b$의 배수는 모두 $a$의 배수’라는 포함 관계가 된다. [1] 명제 ‘$\sim p$이면 $\sim q$이다.’가 참인 것은 그 대우 ‘$x$가 $b$의 배수이면 $x$는 $a$의 배수이다.’ 가 참인 것과 같다. [2] 조건이 $a$, $b$의 관계로 바뀌는 까닭 $b$는 $20$ 이하의 자연수이므로 $b$는 $U$의 원소이고 $b$의 배수이다. 대우가 참이면 $b$가 $a$의 배수이어야 하므로 $a$는 $b$의 약수이다. 거꾸로 $a$가 $b$의 약수이면 $b$의 배수는 모두 $a$의 배수이므로 대우는 참이다. 따라서 명제가 참인 것은 $a$가 $b$의 약수인 것과 같다. [3] 순서쌍의 개수 세기 $a$를 정하면 $b$는 $20$ 이하인 $a$의 배수이므로 $b$의 개수는 $20$을 $a$로 나눈 몫이다. $a = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$일 때 $b$의 개수는 각각 $20 , 10 , 6 , 5 , 4 , 3$ $a = 7 , 8 , 9 , 10$일 때 각각 $2$ $a = 11 , 12 , \cdots , 20$일 때 각각 $1$ 따라서 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $20 + 10 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 \times 4 + 1 \times 10 = 66$