공통수학2집합AI기본 문제 (3점 중반)

배수 집합의 연산 결과에서 원소 세기

문제

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $A _{n}$ 을 $A _{n} = \left\{ x \left| x \right. \right.$ 는 $n$ 의 배수인 자연수 $\}$ 이라 하자. 집합 $( A _{4} \cup A _{6} ) \cap A _{9}$ 의 원소 중 $100$ 이하인 것의 개수를 구하시오. [3점]

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해설

분배법칙에 의하여 $( A _{4} \cup A _{6} ) \cap A _{9} = ( A _{4} \cap A _{9} ) \cup ( A _{6} \cap A _{9} )$ $4$ 와 $9$ 의 최소공배수는 $36$ , $6$ 과 $9$ 의 최소공배수는 $18$ 이므로 $( A _{4} \cup A _{6} ) \cap A _{9} = A _{36} \cup A _{18}$ $36$ 의 배수는 모두 $18$ 의 배수이므로 $A _{36} \subset A _{18}$ 이고 $A _{36} \cup A _{18} = A _{18}$ $100$ 이하의 $18$ 의 배수는 $18$ , $36$ , $54$ , $72$ , $90$ 이다. 따라서 구하는 개수는 $5$ 이다.

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