대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

배수 제외 수열 위치

문제

그림과 같이 모든 자연수를 $1$ 부터 차례대로 나열하였다. $3$ 의 배수와 $4$ 의 배수를 제외하고 남아 있는 수를 크기순으로 나열하여 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 을 만들었다. $1$ , $2$ , $5$ , $7$ , $10$ , $11$ , $13$ , $14$ , $\cdots$ 그림에서 $a _{2007}$ 이 $i$ 행 $j$ 열의 수일 때, $i + j$ 의 값은? [4점]

	제 $1$ 열	제 $2$ 열	제 $3$ 열	제 $4$ 열	제 $5$ 열	제 $6$ 열	제 $7$ 열	제 $8$ 열	제 $9$ 열	제 $10$ 열
제 $1$ 행	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
제 $2$ 행	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
제 $3$ 행	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$
제 $4$ 행	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$	$40$
제 $5$ 행	$41$	$42$	$43$	$44$	$45$	$46$	$47$	$48$	$49$	$50$
제 $6$ 행	$51$	$52$	$53$	$54$	$55$	$56$	$57$	$58$	$59$	$60$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

① $405$ ② $407$ ③ $409$ ④ $411$ ⑤ $413$

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①

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해설

[출제의도] 수열의 규칙성을 파악하여 위치 나타내기 $3$ 과 $4$ 의 최소공배수인 $12$ 마다 $6$ 개의 항이 주기적으로 남게 되고, $2007 = 6 \times 335 - 3$ 이므로 $a _{6 n - 3} = 12 n - 7$ $a _{2007} = 12 \times 335 - 7 = 4013$ 이고 $4013$ 은 $402$ 행 $3$ 열의 수이다. $\therefore$ $402 + 3 = 405$

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