배각과 사분면 판정

$\displaystyle 2 k \pi < 3 \theta < 2 k \pi + \frac{\pi}{2}$ ($k$는 정수)에서 $\displaystyle \frac{2 k}{3} \pi < \theta < \frac{2 k}{3} \pi + \frac{\pi}{6}$이므로 $\displaystyle \frac{8 k}{3} \pi < 4 \theta < \frac{8 k}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi$ 이때 $4 \theta$가 제$2$사분면의 각이 되려면 (ⅰ) $k = 0$일 때 $\displaystyle 0 < 4 \theta < \frac{2}{3} \pi$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \pi < 4 \theta < \frac{2}{3} \pi$ 즉 $\displaystyle \frac{\pi}{8} < \theta < \frac{\pi}{6}$이므로 $\theta$는 제$1$사분면의 각이다. (ⅱ) $k = 1$일 때 $\displaystyle \frac{8 \pi}{3} < 4 \theta < \frac{10}{3} \pi$에서 $\displaystyle \frac{8}{3} \pi < 4 \theta < 3 \pi$ 즉 $\displaystyle \frac{2}{3} \pi < \theta < \frac{3}{4} \pi$이므로 $\theta$는 제$2$사분면의 각이다. (ⅲ) $k = 2$일 때 $\displaystyle \frac{16}{3} \pi < 4 \theta < 6 \pi$에서 제$2$사분면에 속하는 $4 \theta$는 존재하지 않는다. (ⅳ) $k = 3$일 때 $\displaystyle 8 \pi < 4 \theta < \frac{26}{3} \pi$에서 $\displaystyle \frac{17}{2} \pi < 4 \theta < \frac{26}{3} \pi$ 즉 $\displaystyle \frac{17}{8} \pi < \theta < \frac{13}{6} \pi$이므로 $\theta$는 제$1$사분면의 각이다. (ⅴ) $k = 4$일 때 $\displaystyle \frac{32}{3} \pi < 4 \theta < \frac{34}{3} \pi$에서 $\displaystyle \frac{32}{3} \pi < 4 \theta < 11 \pi$ 즉 $\displaystyle \frac{32}{12} \pi < \theta < \frac{11}{4} \pi$이므로 $\theta$는 제$2$사분면의 각이다. (ⅵ) $k = 5$일 때 $\displaystyle \frac{40}{3} \pi < 4 \theta < 14 \pi$에서 제$2$사분면에 속하는 $4 \theta$는 존재하지 않는다. 이상에서 $k$를 $3$으로 나눌 때 나머지가 $0$이면 $\theta$는 제$1$사분면에 속하고 $3$으로 나눌 때 나머지가 $1$이면 $\theta$는 제$2$사분면에 속하며 $3$으로 나눌 때 나머지가 $2$이면 조건을 만족시키는 $\theta$는 존재하지 않는다. 따라서 $m = 1$, $n = 2$라 하면 $m + n = 3$ [다른 풀이] $3 \theta$가 제$1$사분면의 각이므로 $\displaystyle 2 k \pi < 3 \theta < 2 k \pi + \frac{\pi}{2}$ ($k$는 정수) $\cdots \cdots$ ㉠ $4 \theta$가 제$2$사분면의 각이므로 $\displaystyle 2 l \pi + \frac{\pi}{2} < 4 \theta < 2 l \pi + \pi$ ($l$은 정수) $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $2 \left( l - k \right) \pi < 4 \theta - 3 \theta < 2 \left( l - k \right) \pi + \pi$ $\therefore$ $2 \left( l - k \right) \pi < \theta < 2 \left( l - k \right) \pi + \pi$ $l - k$는 정수이므로 $\theta$는 제$1$사분면 또는 제$2$사분면의 각이다. 따라서 $m$, $n$은 $1$, $2$이므로 $m + n = 3$