배달 거리의 합이 최소가 되는 창고 위치

실마리: 마을 A의 위치를 $0$으로 하는 수직선을 도로 위에 놓고 창고의 위치를 $x$라 하면, 창고에서 각 마을까지의 거리는 절댓값으로 나타난다. 마을 A, B, C의 위치는 각각 $0$, $4$, $10$이다. 창고에서 A, B, C까지의 거리는 각각 $| x |$, $| x - 4 |$, $| x - 10 |$이고, 배달마다 왕복하므로 하루 총 이동 거리는 $y = 2 ( 3 | x | + | x - 4 | + 2 | x - 10 | )$ $f ( x ) = 3 | x | + | x - 4 | + 2 | x - 10 |$이라 하고 구간별로 절댓값을 푼다. $x < 0$일 때 $f ( x ) = - 3 x - ( x - 4 ) - 2 ( x - 10 ) = - 6 x + 24$ $0 \leq x \leq 4$일 때 $f ( x ) = 3 x - ( x - 4 ) - 2 ( x - 10 ) = 24$ $4 \leq x \leq 10$일 때 $f ( x ) = 3 x + ( x - 4 ) - 2 ( x - 10 ) = 2 x + 16$ $x > 10$일 때 $f ( x ) = 3 x + ( x - 4 ) + 2 ( x - 10 ) = 6 x - 24$ $x < 0$에서는 $f ( x ) > 24$, $4 \leq x \leq 10$에서는 $f ( x ) \geq 24$, $x > 10$에서는 $f ( x ) > 36$이므로 $f ( x )$의 최솟값은 $24$이고, 최소가 되는 것은 $0 \leq x \leq 4$, 즉 P가 A와 B 사이(양 끝 포함)에 있을 때이다. (다른 풀이) $f ( x )$의 그래프는 꺾은선이고 기울기는 $x < 0$에서 $- 6$, A를 지나면 $- 6 + 6 = 0$, B를 지나면 $0 + 2 = 2$, C를 지나면 $2 + 4 = 6$이다. 기울기가 $0$인 구간 $0 \leq x \leq 4$에서 최소이고 $f ( 0 ) = 4 + 20 = 24$이다. 따라서 $m = 2 \times 24 = 48$, $l = 4$이므로 $m + l = 52$