AX=kX 인 양수해

[출제의도] 행렬과 연립일차방정식의 해에 관한 문제 해결 능력을 측정한다. $AX = kX$ 에서 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} , X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \leftrightarrow \begin{pmatrix} 5 - k & 3 \\ 8 & 3 - k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 이 때 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} 5 - k & 3 \\ 8 & 3 - k \end{pmatrix}$ 의 역행렬이 존재하면 $x = 0 , y = 0$ 으로 오직 한 쌍이 존재하고, 역행렬이 존재하지 않으면 무수히 많이 존재한다. 따라서 $( 5 - k ) ( 3 - k ) - 24 = 0$ 에서 $k ^{2} - 8 k - 9 = 0$ $( k + 1 ) ( k - 9 ) = 0$ $\therefore$ $k = - 1$ 또는 $k = 9$ 그런데 $k = - 1$일 때, $2 x + y = 0$을 만족하는 양수 $x , y$가 존재하지 않는다. 한편, $k = 9$ 일 때, $8 x - 6 y = 0$ 즉 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x$ 를 만족하는 양수 $x , y$ 가 존재한다. $\therefore k = 9$