아폴로니우스 원과 삼각형 최대넓이

점 $P ( x , y )$의 자취방정식을 구하면 $\displaystyle \overline{AP} : \overline{BP} = 1 : 2$이므로 $\displaystyle \sqrt{( x - 3 ) ^{2} + y ^{2}} : \sqrt{x ^{2} + ( y - 3 ) ^{2}} = 1 : 2$ $\displaystyle \sqrt{x ^{2} + ( y - 3 ) ^{2}} = 2 \sqrt{( x - 3 ) ^{2} + y ^{2}}$ 양 변을 제곱하여 정리하면 $x ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 4 \left\{ ( x - 3 ) ^{2} + y ^{2} \right\}$ $3 x ^{2} + 3 y ^{2} - 24 x + 6 y + 27 = 0$ $x ^{2} + y ^{2} - 8 x + 2 y + 9 = 0$ $( x - 4 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = 8$ 점 $P$의 자취는 중심이 $( 4 , - 1 )$, 반지름이 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$인 원이 된다. 점 $P$에서 직선 $AB$까지의 수직거리가 최대일 때 $\triangle PAB$의 면적은 최대이다. 직선 $AB$가 원의 중심을 지나므로 수직거리의 최댓값은 원의 반지름과 같다. 따라서, 면적의 최댓값은 $\displaystyle \triangle PAB = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2} = 6$