대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

아메스 파피루스의 빵 나누기

문제

고대 이집트의 수학 문헌인 아메스 파피루스 (기원전 1650년경)에는 다음과 같은 문제가 기록되어 있다.

다섯 사람에게 $120$ 개의 빵을 나누어 주는데, 각자의 배당몫이 등차수열을 이루고, 가장 적게 배당받는 사람과 그 다음으로 적게 배당받는 사람의 몫의 합이 나머지 세 사람 몫의 합의 $\displaystyle \frac{1}{7}$ 이 되도록 하라.

위와 같이 빵을 나누어 줄 때, 가장 많이 배당받는 사람의 몫은? ① $52$ ② $50$ ③ $48$ ④ $46$ ⑤ $44$

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④

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해설

다섯 사람의 몫을 각각 $a - 2 d , a - d , a , a + d , a + 2 d$ 라고 하면 $120 = ( a - 2 d ) + ( a - d ) + a + ( a + d ) + ( a + 2 d )$ $= 5 a$ $\therefore a = 24$ $( a - 2 d ) + ( a - d )$ $\displaystyle = \frac{1}{7} \left\{ a + ( a + d ) + ( a + 2 d ) \right\}$ $\displaystyle 2 a - 3 d = \frac{1}{7} ( 3 a + 3 d )$ $14 a - 21 d = 3 a + 3 d$ $11 a = 24 d$ $a = 24$ 이므로 $d = 11$ $\therefore a + 2 d = 24 + 2 \cdot 11 = 46$

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