액자 사진 넓이 최대

[출제의도] 이차함수를 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 액자의 폭(가로)과 아래위(세로)의 길이를 각각 $x$, $y$ 라 하면 주어진 조건에 의하여 $2 ( x + y ) = 224$ $\therefore x + y = 112$ 사진의 넓이 $S$는 $\begin{aligned} S & = ( x - 8 ) ( y - 16 ) \end{aligned}$ $\begin{aligned} & = ( x - 8 ) ( 112 - x - 16 ) \end{aligned}$ $\begin{aligned} & = ( x - 8 ) ( 96 - x ) \end{aligned}$ $\begin{aligned} & = - x ^{2} + 104 x - 768 \end{aligned}$ $\begin{aligned} & = - ( x - 52 ) ^{2} + 1936 \end{aligned}$ 즉, 사진의 넓이는 $x = 52 , y = 60$일 때 최대가 된다. 따라서 구하는 액자의 짧은 변의 길이는 $52$이다. [다른풀이] 액자의 폭(가로)과 아래위(세로)의 길이를 각각 $x$, $y$ 라 하면 사진의 넓이는 $S = ( x - 8 ) ( y - 16 )$이다. 한편, $2 ( x + y ) = 224$이므로 $x + y = 112$이고 $( x - 8 ) + ( y - 16 ) = x + y - 24 = 88$ $x - 8 > 0 , y - 16 > 0$이므로 산술평균과 기하평균 관계에 의하여 $\displaystyle \frac{( x - 8 ) + ( y - 16 )}{2} \geq \sqrt{( x - 8 ) ( y - 16 )}$ ∴ $S = ( x - 8 ) ( y - 16 )$$\leq 44 ^{2} = 1936$ 따라서, $x - 8 = y - 16 = 44$ 일 때 $S$ 의 값이 최대이다. $\therefore x = 52 , y = 60$