A^k=81E 행렬 개수

[출제의도] 행렬의 거듭제곱의 성질을 이용한 수학 내적 문제해결하기 행렬 $A ^{k}$의 $( 1 , 1 )$성분이 $a ^{k} = 81$이므로 $( \mathrm{i} )$ $k$이 홀수일 때는 만족하는 정수 $a , b$가 없다. $( \mathrm{ii} )$ $k$이 짝수일 때 $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} a ^{2} & b ( a + b ) \\ 0 & b ^{2} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 81 & 0 \\ 0 & 81 \end{pmatrix}$에서 $a$$= \pm 9$, $b = \mp 9$(복호동순) $\displaystyle A ^{4} = {\begin{pmatrix} a ^{4} & b ( a + b ) ( a ^{2} + b ^{2} ) \\ 0 & b ^{4} \end{pmatrix}}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 81 & 0 \\ 0 & 81 \end{pmatrix}$ $a$$= \pm 3$, $b = \mp 3$(복호동순) $k$가 $6$이상의 짝수일 때는 만족하는 정수 $a , b$가 없다. 따라서 만족하는 행렬 $A$는 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 9 & - 9 \\ 0 & - 9 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle {\begin{pmatrix} - 9 & 9 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle {\begin{pmatrix} 3 & - 3 \\ 0 & - 3 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle {\begin{pmatrix} - 3 & 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}}$이므로 $n ( S ) = 4$