대수지수와 로그AI기본 문제 (3점 중반)

a²=b³ 조건의 자연수 구하기

문제

두 자연수 $a , b$ 가 $a ^{2} = b ^{3} , a + b = 36$ 을 만족시킬 때, $a - b$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$a ^{2} = b ^{3}$ 에서 $b$ 의 소인수 $p$ 의 지수를 $e$ 라 하면 $b ^{3}$ 에서 $p$ 의 지수 $3 e$ 는 짝수이므로 $e$ 는 짝수이다. 즉 $b$ 는 제곱수이므로 $b = m ^{2}$ ( $m$ 은 자연수)이라 하면 $a ^{2} = m ^{6}$ 에서 $a = m ^{3}$ $a + b = 36$ 에서 $m ^{3} + m ^{2} = 36$ $m ^{2} ( m + 1 ) = 36 = 3 ^{2} \times 4$ 이므로 $m = 3$ $a = 27 , b = 9$ 따라서 $a - b = 18$

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