A²⁰¹²+B²⁰¹²

[출제의도] 행렬을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. $A + B = E$, $AB = E$ 에서 $A ( E - A ) = E$ $A ^{2} - A + E = O$ ……㉠ 양변에 $A + E$를 곱하면 $( A + E ) ( A ^{2} - A + E ) = O$ $A ^{3} + E = O$, $A ^{3} = - E$, $A ^{6} = E$이므로 $A ^{2012} = A ^{6 \times 335 + 2}$$= ( A ^{6} ) ^{335} A ^{2}$$= A ^{2}$ 한편, ㉠에서 $A ^{2} = A - E$ 같은 방법으로 $B ^{2012} = B ^{2}$$= B - E$ ∴ $A ^{2012} + B ^{2012} = A ^{2} + B ^{2}$$= A - E + B - E$ $= A + B - 2 E$$= E - 2 E = - E$ [다른 풀이] 위에서 $A ^{2012} = A ^{2}$, $B ^{2012} = B ^{2}$ $AB = E$에서 $B A = E$ 이므로 $AB = B A$ $A ^{2012} + B ^{2012} = A ^{2} + B ^{2}$$= ( A + B ) ^{2} - 2 AB$ $= E - 2 E = - E$