공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

A²+(A⁻¹)² 성분의 합

문제

행렬 A=(aa+1a−1a)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & a + 1 \\ a - 1 & a \end{pmatrix}} 에 대하여 행렬 A2+(A−1)2A ^{2} + ( A ^{- 1} ) ^{2}의 모든 성분의 합이 124124일 때, a2a ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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16

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해설

[출제의도] 행렬의 연산 이해하기 A−1=(a−a−1−a+1a)\displaystyle A ^{- 1} = {\begin{pmatrix} a & - a - 1 \\ - a + 1 & a \end{pmatrix}}이므로 A+A−1=2aEA + A ^{- 1} = 2 aE 양변을 제곱하여 정리하면 A2+(A−1)2=(4a2−2)EA ^{2} + \left( A ^{- 1} \right) ^{2} = \left( 4 a ^{2} - 2 \right) E 모든 성분의 합이 124124이므로 2(4a2−2)=1242 \left( 4 a ^{2} - 2 \right) = 124 ∴a2=16\therefore a ^{2} = 16

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#역행렬#케일리-해밀턴

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