공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

A²=25E 도형과 거리

문제

행렬 A=(2−xy+1y+1x−2)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 2 - x & y + 1 \\ y + 1 & x - 2 \end{pmatrix}}가 있다. A2=25EA ^{2} = 25 E를 만족시키는 x,yx , y에 대하여 점 (x,y)( x , y )를 좌표평면 위에 나타낼 때 만들어지는 도형을 SS라 하자. 도형 SS위의 점에서 직선 x−y+9=0x - y + 9 = 0까지의 거리의 최솟값을 mm, 최댓값을 MM이라 할 때, mMmM의 값을 구하시오. [4점]

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47

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해설

[출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 수학내적문제 해결하기 A2=((x−2)2+(y+1)200(x−2)2+(y+1)2)\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} ( x - 2 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} & 0 \\ 0 & ( x - 2 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} \end{pmatrix}}=(250025)\displaystyle = {\begin{pmatrix} 25 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix}} 이므로 점 (x,y)\left( x , y \right)는 원 (x−2)2+(y+1)2=25( x - 2 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = 25 위의 점이다.

원의 중심(2,−1)( 2 , - 1 )에서 직선 x−y+9=0x - y + 9 = 0까지의 거리는 1212+12=62\displaystyle \frac{12}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = 6 \sqrt{2}이므로 m=62−5\displaystyle m = 6 \sqrt{2} - 5, M=62+5\displaystyle M = 6 \sqrt{2} + 5이다. 따라서 mM=(62−5)(62+5)=47\displaystyle mM = \left( 6 \sqrt{2} - 5 \right) \left( 6 \sqrt{2} + 5 \right) = 47이다. ∴mM=47\therefore mM = 47

태그

#행렬#원#점과 직선 거리

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