공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

A^2=E 행렬 개수

문제

다음은 이차정사각행렬 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & a + 6 \end{pmatrix}}$ 에 대하여 $A ^{2} = E$ 를 만족시키는 행렬 $A$ 의 개수를 구하는 과정이다. (단, $a$ , $b$ , $c$ 는 정수이고 $E$ 는 단위행렬이다.)


	$A$ 가 $A ^{2} = E$ 를 만족시키므로 $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} a ^{2} + bc & 2 b \times \left( a + 3 \right) \\ 2 c \times \left( a + 3 \right) & \left( a + 6 \right) ^{2} + bc \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$ 이다. (ⅰ) $a \ne \square {( \text{가} )}$ 인 경우 $b = 0$ 이고 $c = 0$ 이므로 $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} a ^{2} & 0 \\ 0 & \left( a + 6 \right) ^{2} \end{pmatrix}}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 이다. $\text{㉠}$ 에서 $A ^{2} \ne E$ 이므로 주어진 조건에 모순이다. (ⅱ) $a = \square {( \text{가} )}$ 인 경우 주어진 조건 $A ^{2} = E$ 에서 $bc = \square {( \text{나} )}$ 이다. $b$ , $c$ 가 정수이므로 $bc = \square {( \text{나} )}$ 를 만족시키는 순서쌍 $\left( b , c \right)$ 의 개수는 $\square {( \text{다} )}$ 이다. 따라서 $A ^{2} = E$ 를 만족시키는 행렬 $A$ 의 개수는 $\square {( \text{다} )}$ 이다.

(ⅰ) $a \ne \square {( \text{가} )}$ 인 경우 $b = 0$ 이고 $c = 0$ 이므로 $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} a ^{2} & 0 \\ 0 & \left( a + 6 \right) ^{2} \end{pmatrix}}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 이다. $\text{㉠}$ 에서 $A ^{2} \ne E$ 이므로 주어진 조건에 모순이다.

(ⅱ) $a = \square {( \text{가} )}$ 인 경우 주어진 조건 $A ^{2} = E$ 에서 $bc = \square {( \text{나} )}$ 이다. $b$ , $c$ 가 정수이므로 $bc = \square {( \text{나} )}$ 를 만족시키는 순서쌍 $\left( b , c \right)$ 의 개수는 $\square {( \text{다} )}$ 이다.

따라서 $A ^{2} = E$ 를 만족시키는 행렬 $A$ 의 개수는 $\square {( \text{다} )}$ 이다.

위의 $\left( \text{가} \right)$ , $\left( \text{나} \right)$ , $\left( \text{다} \right)$ 에 알맞은 수를 각각 $p$ , $q$ , $r$ 라 할 때, $p + q + r$ 의 값은? [4점] ① $- 3$ ② $- 1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $3$

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①

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해설

[출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 추론하기

$A$ 가 $A ^{2} = E$ 를 만족시키므로 $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} a ^{2} + bc & 2 b \times \left( a + 3 \right) \\ 2 c \times \left( a + 3 \right) & \left( a + 6 \right) ^{2} + bc \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$ 이다. 따라서 $b \times \left( a + 3 \right)$ $= c \times \left( a + 3 \right) = 0$ 이다. (ⅰ) $a \ne \square {- 3}$ 인 경우 $b = 0$ 이고 $c = 0$ 이므로 $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} a ^{2} & 0 \\ 0 & \left( a + 6 \right) ^{2} \end{pmatrix}}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 이다. $\text{㉠}$ 에서 $A ^{2} \ne E$ 이므로 주어진 조건에 모순이다. (ⅱ) $a = \square {- 3}$ 인 경우 주어진 조건 $A ^{2} = E$ 에서 $bc = \square {- 8}$ 이다. $b$ , $c$ 가 정수이고 $8$ 의 약수의 개수가 $4$ 개이므로 $bc = \square {- 8}$ 을 만족시키는 순서쌍 $\left( b , c \right)$ 의 개수는 $\square {8}$ 이다. 따라서 $A ^{2} = E$ 를 만족시키는 행렬 $A$ 의 개수는 $\square {8}$ 이다.

∴ $p = - 3$ , $q = - 8$ , $r = 8$ 따라서 $p + q + r = - 3$

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