대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

6진법 규칙 점화식

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $a _{1} = 5 \times 6 ^{5} + 5 \times 6 ^{4} + 5 \times 6 ^{3} + 5 \times 6 ^{2} + 5 \times 6 + 5$ , $\displaystyle a _{n + 1} = \begin{cases} \frac{1}{6} a _{n} ( a _{n} \text{이} 6 \text{의} \text{배수일} \text{때} ) \\ a _{n} - 1 ( a _{n} \text{이} 6 \text{의} \text{배수가} \text{아닐} \text{때} ) \end{cases}$ 이다. $a _{k} = 1$ 일 때, $k$ 의 값은? [4점] ① $34$ ② $35$ ③ $36$ ④ $37$ ⑤ $38$

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②

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[출제의도] 수열의 규칙성 추론하기 $a _{1} = 5 \times 6 ^{5} + 5 \times 6 ^{4} + 5 \times 6 ^{3} + 5 \times 6 ^{2} + 5 \times 6 + 5$ $a _{2} = 5 \times 6 ^{5} + 5 \times 6 ^{4} + 5 \times 6 ^{3} + 5 \times 6 ^{2} + 5 \times 6 + 4$ $a _{3} = 5 \times 6 ^{5} + 5 \times 6 ^{4} + 5 \times 6 ^{3} + 5 \times 6 ^{2} + 5 \times 6 + 3$ $a _{4} = 5 \times 6 ^{5} + 5 \times 6 ^{4} + 5 \times 6 ^{3} + 5 \times 6 ^{2} + 5 \times 6 + 2$ $a _{5} = 5 \times 6 ^{5} + 5 \times 6 ^{4} + 5 \times 6 ^{3} + 5 \times 6 ^{2} + 5 \times 6 + 1$ $a _{6} = 5 \times 6 ^{5} + 5 \times 6 ^{4} + 5 \times 6 ^{3} + 5 \times 6 ^{2} + 5 \times 6 + 0$ $a _{7} = 5 \times 6 ^{4} + 5 \times 6 ^{3} + 5 \times 6 ^{2} + 5 \times 6 ^{1} + 5$ $\vdots$ 따라서 위와 같은 규칙에 의해서 $a _{35} = 1$

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