5로 나눈 나머지 주기

[출제의도] 나머지들의 규칙성을 구하는 추론 능력을 측정하는 문제이다. $R ( m ) = 3$을 만족하는 $m$은 5로 나누었을 때 나머지가 3인 자연수이므로 $m = 5 k + 3$으로 나타낼 수 있다. $m ^{2} = ( 5 k + 3 ) ^{2} = 5 k _{1} + 4$에서 $R ( m ^{2} ) = 4$ $m ^{3} = m \cdot m ^{2} = ( 5 k + 3 ) ( 5 k _{1} + 4 ) = 5 k _{2} + 2$에서 $R ( m ^{3} ) = 2$ $m ^{4} = m \cdot m ^{3} = ( 5 k + 3 ) ( 5 k _{2} + 2 ) = 5 k _{3} + 1$에서 $R ( m ^{4} ) = 1$ $m ^{5} = m \cdot m ^{4} = ( 5 k + 3 ) ( 5 k _{3} + 1 ) = 5 k _{4} + 3$에서 $R ( m ^{5} ) = 3$ $m ^{6} = m \cdot m ^{5} = ( 5 k + 3 ) ( 5 k _{4} + 3 ) = 5 k _{5} + 4$에서 $R ( m ^{6} ) = 4$ … 이상에서 자연수 $k$에 대하여 $R ( m ^{k} )$의 값은 3, 4, 2, 1이 반복됨을 알 수 있다. 2004=4×501이므로 $R ( m ^{2004} ) = R ( m ^{4} ) = 1$