대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

3의 거듭제곱 지수 수열

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 제 $n$ 항 $a _{n}$ 을 $\displaystyle \frac{n}{3 ^{k}}$ 이 자연수가 되게 하는 음이 아닌 정수 $k$ 의 최댓값이라 하자. 예를 들어 $a _{1} = 0$ 이고 $a _{6} = 1$ 이다. $a _{m} = 3$ 일 때, $a _{m} + a _{2m} + a _{3m} +$ … $+ a _{9m}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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31

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해설

$a _{m} = 3$ 이므로 $\displaystyle \frac{m}{3 ^{3}} = a , \therefore m = 3 ^{3} \cdot a$ (단, $\displaystyle \frac{m}{3 ^{k}} = a$ 를 만족하는 최대 정수 $k = 3$ 이므로 $a$ 는 $3$ 배수가 아닌 자연수) 따라서 $a _{m} = a _{2m} = a _{4m} = a _{5m} = a _{7m} = a _{8m} = 3$ 이고 $a _{3m} = a _{6m} = 4$ , $a _{9m} = 5$ 이다. $\therefore a _{m} + a _{2m} + \cdots + a _{9m} = ( 3 \times 6 ) + ( 4 \times 2 ) + 5 = 31$

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