3의 배수에 관한 귀류법 증명

다음은 자연수 $a$, $b$에 대하여 명제 “$a ^{2} + b ^{2}$이 $3$의 배수이면 $a$, $b$는 모두 $3$의 배수이다.”를 귀류법으로 증명한 것이다.

[증명] $a$, $b$가 모두 $3$의 배수는 아니라고 가정하자. 자연수 $n$이 $3$의 배수가 아니면 $n = 3 k + 1$ 또는 $n = 3 k + 2$ ($k$는 음이 아닌 정수)이고 $n = 3 k + 1$일 때 $n ^{2} = 3 ( 3 k ^{2} + 2 k ) + 1$, $n = 3 k + 2$일 때 $n ^{2} =$ (가) 이므로 $n ^{2}$을 $3$으로 나눈 나머지는 $1$이다. (ⅰ) $a$, $b$ 중 하나만 $3$의 배수이면 $a ^{2} + b ^{2}$을 $3$으로 나눈 나머지는 (나) 이다. (ⅱ) $a$, $b$가 모두 $3$의 배수가 아니면 $a ^{2} + b ^{2}$을 $3$으로 나눈 나머지는 (다) 이다. 어느 경우에도 $a ^{2} + b ^{2}$은 $3$의 배수가 아니므로 $a ^{2} + b ^{2}$이 $3$의 배수라는 가정에 모순이다. 따라서 $a ^{2} + b ^{2}$이 $3$의 배수이면 $a$, $b$는 모두 $3$의 배수이다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 식을 $f ( k )$, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 할 때, $f ( 1 ) + p + q$의 값을 구하시오. [3점]