공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

3의 배수 증명 빈칸

문제

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $n ^{3} + 9 n ^{2} + 23 n + 15$ 가 $3$ 의 배수임을 증명한 것이다.

(증명) $n ^{3} + 9 n ^{2} + 23 n + 15$ 를 인수분해하면 $n ^{3} + 9 n ^{2} + 23 n + 15 = ( n + 1 ) ( n + 3 ) ( n + 5 )$
ⅰ) $n = 3 k ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 일 때,
	(가)	는(은) $3$ 의 배수이다.
ⅱ) $n = 3 k + 1 ( k = 0 , 1 , 2 , \cdots )$ 일 때,
	(나)	는(은) $3$ 의 배수이다.
ⅲ) $n = 3 k + 2 ( k = 0 , 1 , 2 , \cdots )$ 일 때,
	(다)	는(은) $3$ 의 배수이다.
따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $n ^{3} + 9 n ^{2} + 23 n + 15$ 는 3의 배수이다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? [3점] ① $n + 1 , n + 3 , n + 5$ ② $n + 1 , n + 5 , n + 3$ ③ $n + 3 , n + 1 , n + 5$ ④ $n + 3 , n + 5 , n + 1$ ⑤ $n + 5 , n + 1 , n + 3$

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④

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해설

[출제의도] 각 경우에 따른 대응 관계를 조사하는 증명 문제이다. $n ^{3} + 9 n ^{2} + 23 n + 15 = ( n + 1 ) ( n + 3 ) ( n + 5 )$ 에서 ⅰ) $n = 3 k ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 일 때, $n + 3 = 3 k + 3 = 3 ( k + 1 )$ 은 3의 배수이다. ⅱ) $n = 3 k + 1 ( k = 0 , 1 , 2 , \cdots )$ 일 때, $n + 5 = 3 k + 6 = 3 ( k + 2 )$ 은 3의 배수이다. ⅲ) $n = 3 k + 2 ( k = 0 , 1 , 2 , \cdots )$ 일 때, $n + 1 = 3 k + 3 = 3 ( k + 1 )$ 은 3의 배수이다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $( n + 1 ) ( n + 3 ) ( n + 5 )$ 는 3의 배수이다. $\therefore ( \text{가} ) n + 3 , ( \text{나} ) n + 5 , ( \text{다} ) n + 1$

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