2의 거듭제곱 약수 수열 극한

[출제의도] 규칙성을 이용하여 수열의 극한 문제 해결하기 $\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{2 ^{n - 1}} M ( 2 k ) = M ( 2 ) + M ( 4 ) + M ( 6 ) + \cdots + M ( 2 ^{n} )$ 이므로 $a _{n}$은 집합 $B$의 원소 중에서 집합 $A$의 원소인 $2 , 4 , 6 , 8 , \cdots , 2 ^{n}$에서 각각 가장 큰 약수를 찾아 합한 것과 같다. 그리고 $2 , 4 , 6 , 8 , \cdots , 2 ^{n}$의 개수는 $2 ^{n - 1}$개이다. $n = 1$이면 $a _{1} = M ( 2 ) = 2$이다. $n \geq 2$일 때, (ⅰ) $M ( 2 k ) = 2$인 $k$의 개수는 $2 , 4 , 6 , 8 , \cdots , 2 ^{n}$을 $2 \times$(홀수)로 나타낼 수 있는 수의 개수와 같으므로 $2$의 배수 중 $4$의 배수가 아닌 것의 개수와 같다. 따라서 $k$의 개수는 $\displaystyle \frac{2 ^{n}}{2} - \frac{2 ^{n}}{2 ^{2}} = \frac{2 ^{n - 1}}{2} = 2 ^{n - 2} ( n \geq 2 )$ 개이다. (ⅱ) $M ( 2 k ) = 4$인 $k$의 개수는 $2 , 4 , 6 , 8 , \cdots , 2 ^{n}$을 $4 \times$(홀수)로 나타낼 수 있는 수의 개수와 같으므로 $4$의 배수 중 $8$의 배수가 아닌 것의 개수와 같다. 따라서 $k$의 개수는 $\displaystyle \frac{2 ^{n}}{2 ^{2}} - \frac{2 ^{n}}{2 ^{3}} =$$\displaystyle \frac{2 ^{n - 1}}{2 ^{2}} = 2 ^{n - 3} \left( n \geq 3 \right)$ 개이다. (ⅲ) $M ( 2 k ) = 8$인 $k$의 개수는 $2 , 4 , 6 , 8 , \cdots , 2 ^{n}$을 $8 \times$(홀수)로 나타낼 수 있는 수의 개수와 같으므로 $8$의 배수 중 $16$의 배수가 아닌 것의 개수와 같다. 따라서 $k$의 개수는 $\displaystyle \frac{2 ^{n}}{2 ^{3}} - \frac{2 ^{n}}{2 ^{4}} =$$\displaystyle \frac{2 ^{n - 1}}{2 ^{3}} = 2 ^{n - 4} \left( n \geq 4 \right)$ 개이다. 이와 같은 방법으로 계속하면 $n \geq 2$인 $n$에 대하여 $M ( 2 k ) = 2 ^{i}$($i =$$1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n - 1$)인 $k$의 개수는 $2 , 4 , 6 , 8 , \cdots , 2 ^{n}$ 중에서 $2 ^{i} \times$(홀수)로 나타낼 수 있는 수의 개수와 같으므로 $2 ^{i}$의 배수 중 $2 ^{i + 1}$의 배수가 아닌 것의 개수와 같다. 따라서 $k$의 개수는 $\displaystyle \frac{2 ^{n}}{2 ^{i}} - \frac{2 ^{n}}{2 ^{i + 1}} =$$\displaystyle \frac{2 ^{n - 1}}{2 ^{i}} = 2 ^{n - i - 1} \left( n \geq i + 1 \right)$ 개이다. 또한, $M ( 2 k ) = 2 ^{n}$을 만족하는 $k$는 $2 ^{n - 1}$뿐이므로 $k$의 개수는 $1$개이다. 따라서 $n \geq 2$일 때 $\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{2 ^{n - 1}} M ( 2 k ) = M ( 2 ) + M ( 4 ) + M ( 6 ) + \cdots + M ( 2 ^{n} )$ $= \left( 2 \times 2 ^{n - 2} + 2 ^{2} \times 2 ^{n - 3} + \cdots + 2 ^{n - 1} \times 2 ^{0} \right) + 2 ^{n} \times 1$ $\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{n - 1} \left( 2 ^{i} \cdot 2 ^{n - i - 1} \right) + 2 ^{n} \cdot 1$ $\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{n - 1} 2 ^{n - 1} + 2 ^{n} \cdot 1$ $= 2 ^{n - 1} ( n - 1 ) + 2 ^{n}$ $= 2 ^{n - 1} ( n + 1 )$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{150 a _{n}}{\left( 3 n + 1 \right) \times 2 ^{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{150 ( n + 1 ) 2 ^{n - 1}}{\left( 3 n + 1 \right) \times 2 ^{n}}} = 25$이다.