2의 거듭제곱 지수 증명

자연수 $N$을 음이 아닌 정수 $m$과 홀수 $p$에 대하여 $N = 2 ^{m} \times p$ 로 나타낼 때, $f \left( N \right) = m$이라 하자. 예를 들어, $40 = 2 ^{3} \times 5$이므로 $f \left( 40 \right) = 3$이다. 다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 $f \left( 3 ^{2 n - 1} + 1 \right) = 2$ …… (*) 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) $n = 1$일 때, $3 ^{1} + 1 = 2 ^{2} \times 1$이므로 $f \left( 3 ^{1} + 1 \right) = 2$이다. 따라서 $n = 1$일 때 (*)이 성립한다. (ⅱ) $n = k$일 때 (*)이 성립한다고 가정하면 $f \left( 3 ^{2 k - 1} + 1 \right) = 2$ 음이 아닌 정수 $m$과 홀수 $p$에 대하여 $3 ^{2 k - 1} + 1 = 2 ^{m} \times p$ 로 나타낼 수 있으므로 $3 ^{2 k - 1} + 1 = {\square {( \text{가} ) _{} ^{}}} \times p$ 이다. $3 ^{2 \left( k + 1 \right) - 1} + 1$$= 9 \times 3 ^{2 k - 1} + 1$ $= 2 ^{2} \times \left( {\square {{}^{} ( \text{나} ) _{}}} \right)$ 이고, $p$는 홀수이므로 ${\square {{}_{} ( \text{나} ) ^{}}}$도 홀수이다. 따라서 $f \left( 3 ^{2 ( k + 1 ) - 1} + 1 \right) = 2$이다. 그러므로 $n = k + 1$일 때도 (*)이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $f \left( 3 ^{2 n - 1} + 1 \right) = 2$이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $a$, (나)에 알맞은 식을 $g \left( p \right)$라 할 때, $a + g \left( 7 \right)$의 값은? [4점] ①$65$②$67$③$69$④$71$⑤$73$