확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

2의 거듭제곱 곱 나머지 확률

문제

$9$ 개의 수 $2 ^{1} , 2 ^{2} , 2 ^{3} , \cdots , 2 ^{9}$ 이 오른쪽 표와 같이 배열되어 있다. 각 행에서 한 개씩 임의로 선택한 세 수의 곱을 $3$ 으로 나눈 나머지가 $1$ 이 될 확률은? [4점]

$2 ^{1}$	$2 ^{2}$	$2 ^{3}$
$2 ^{4}$	$2 ^{5}$	$2 ^{6}$
$2 ^{7}$	$2 ^{8}$	$2 ^{9}$

① $\displaystyle \frac{10}{27}$ ② $\displaystyle \frac{4}{9}$ ③ $\displaystyle \frac{14}{27}$ ④ $\displaystyle \frac{16}{27}$ ⑤ $\displaystyle \frac{2}{3}$

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③

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해설

각 행에서 하나씩 택하여 곱하는 경우의 수는 $3 \times 3 \times 3 = 27$ (가지) 택한 수의 곱이 3으로 나누었을 때, 나머지가 1이 되는 경우는 택한 세 수의 지수의 합이 짝수일 때이다. 1행, 2행, 3행에서 택한 수의 지수를 순서쌍으로 나타내어 지수의 합이 짝수인 경우는 다음과 같다. (ⅰ) (짝수, 짝수, 짝수) $1 \times 2 \times 1 = 2$ (가지) (ⅱ) (짝수, 홀수, 홀수) $1 \times 1 \times 2 = 2$ (가지) (ⅲ) (홀수, 짝수, 홀수) $2 \times 2 \times 2 = 8$ (가지) (ⅲ) (홀수, 홀수, 짝수) $2 \times 1 \times 1 = 2$ (가지) 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{2 + 2 + 8 + 2}{27} = \frac{14}{27}$

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