α²=2i 보기

[출제의도] 복소수의 연산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. (거짓) $( \alpha \beta ) ^{2} = \alpha ^{2} \beta ^{2} = ( 2 i ) ( - 2 i ) = 4$이므로 $\alpha \beta = 2$ 또는 $\alpha \beta = - 2$이다. ㄴ. (참) $( \alpha \beta ) ^{2} = 4$에서 $\alpha \beta = 2$ 또는 $\alpha \beta = - 2$이다. 그런데 조건에 의해 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 0$이므로 $( \alpha + \beta ) ^{2} = \alpha ^{2} + \beta ^{2} + 2 \alpha \beta = 2 \alpha \beta$ 따라서 $( \alpha + \beta ) ^{4} = ( 2 \alpha \beta ) ^{2} = 4 \alpha ^{2} \beta ^{2} = 16$ ㄷ. (거짓) $( \alpha + \beta ) ^{2} = \alpha ^{2} + 2 \alpha \beta + \beta ^{2}$이고 $( \alpha - \beta ) ^{2} = \alpha ^{2} - 2 \alpha \beta + \beta ^{2}$이므로 $\displaystyle \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} \right) ^{2} = \frac{\left( \alpha + \beta \right) ^{2}}{( \alpha - \beta ) ^{2}} = \frac{\alpha ^{2} + \beta ^{2} + 2 \alpha \beta}{\alpha ^{2} + \beta ^{2} - 2 \alpha \beta} = - 1$ 제곱한 수가 음수이므로 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta}$는 실수가 아니다. 이상에서 옳은 것은 ㄴ이다. [다른 풀이] $\alpha = a + b i$($a$, $b$는 실수)라 하고 $\alpha ^{2} = 2 i$에 대입하여 정리하면 $\alpha ^{2} = ( a + bi ) ^{2}$$= ( a ^{2} - b ^{2} ) + 2 ab i = 2 i$ 그러므로 두 수의 실수부분을 비교하면 $a ^{2} - b ^{2} = 0$에서 $( a - b ) ( a + b ) = 0$이 되어 $a + b = 0$ 또는 $a - b = 0$이다. 즉, $a = - b$ 또는 $a = b$ 또 두 수의 허수부분을 비교하면 $ab = 1$이다. 그러므로 $a = - b$에서 $a$대신 $- b$를 대입하면 $- b ^{2} = 1$ 그런데 $b$는 실수이므로 $b ^{2} = - 1$이 될 수 없다. 이번에는 $a = b$에서 $a$대신 $b$를 대입하면 $b ^{2} = 1$이다. 즉, $b = 1$또는 $b = - 1$ 그러므로 $a = 1$, $b = 1$일 때 $\alpha = 1 + i$이고 $a = - 1$, $b = - 1$일 때 $\alpha = - 1 - i$이다. 마찬가지로 $\beta = c + d i$($c$, $d$는 실수)라 하고 $\beta ^{2} = - 2 i$에 대입하여 $\beta$를 구하면 $\beta = 1 - i$ 또는 $\beta = - 1 + i$ ㄱ. (거짓) $\alpha = 1 + i$, $\beta = - 1 + i$이면 $\alpha \beta = - 2$이다. ㄴ. (참) $\alpha + \beta$의 값은 $2$, $- 2$, $2 i$, $- 2 i$가 될 수 있으므로 $( \alpha + \beta ) ^{4} = 16$