2^k과 5^k의 자릿수의 합

$2 ^{k}$이 $a$자리 자연수이므로 $10 ^{a - 1} \leq 2 ^{k} < 10 ^{a}$ $5 ^{k}$이 $b$자리 자연수이므로 $10 ^{b - 1} \leq 5 ^{k} < 10 ^{b}$ $2 ^{k}$은 $5$의 배수가 아니고 $1$도 아니므로 $2 ^{k} \ne 10 ^{a - 1}$이고, 같은 이유로 $5 ^{k} \ne 10 ^{b - 1}$ 두 부등식을 변끼리 곱하면 $10 ^{a + b - 2} < 2 ^{k} \times 5 ^{k} < 10 ^{a + b}$ $2 ^{k} \times 5 ^{k} = 10 ^{k}$이므로 $a + b - 2 < k < a + b$, 즉 $k = a + b - 1$ 따라서 $k = 31 - 1 = 30$이므로 답은 ②이다.