2^a=5^b 보기

ㄱ. $\displaystyle b = \frac{1}{2}$이면 $\displaystyle 2 ^{a} = 5 ^{\frac{1}{2}}$에서 $\displaystyle a = \log _{2} \sqrt{5} = \log _{4} 5$ (참) ㄴ. $2 ^{a} = 5 ^{b}$에서 $\displaystyle 2 ^{\frac{a}{b}} = 5$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{a}{b} = \log _{2} 5$ 그런데 $\log _{2} 4 < \log _{2} 5 < \log _{2} 8$에서 $2 < \log _{2} 5 < 3$이므로 $\displaystyle 2 < \frac{a}{b} < 3$ (참) ㄷ. (반례) $2 ^{a} = 5 ^{b} = 10$으로 놓으면 $\displaystyle 2 = 10 ^{\frac{1}{a}}$, $\displaystyle 5 = 10 ^{\frac{1}{b}}$에서 $\displaystyle \frac{1}{a} = \log _{} 2$, $\displaystyle \frac{1}{b} = \log _{} 5$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \log _{} 2 + \log _{} 5$$= \log _{} 10 = 1$ (유리수) (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. [다른풀이] ㄴ. $2 ^{a} = 5 ^{b}$의 양변에 상용로그를 취하면 $a \log 2 = b \log 5$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{\log 5}{\log 2} = \log _{2} 5$ [참고] $2 ^{a} = 5 ^{b} = k \left( k > 1 \right)$로 놓으면 $\displaystyle 2 = k ^{\frac{1}{a}}$, $\displaystyle 5 = k ^{\frac{1}{b}}$에서 $\displaystyle \frac{1}{a} = \log _{k} 2$, $\displaystyle \frac{1}{b} = \log _{k} 5$ $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \log _{k} 2 + \log _{k} 5$$= \log _{k} 10$ 이므로 $\displaystyle k = 10 ^{\frac{n}{m}}$(단, $m$, $n$은 자연수)일 때 $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$은 유리수이다.