공통수학1여러 가지 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

1부터 12까지 나열해 만든 절댓값 합의 최댓값

문제

$1$ 부터 $12$ 까지의 모든 자연수를 임의로 나열하여 $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ , $\cdots$ , $a _{12}$ 라 할 때, $\left| a _{1} - a _{2} \right| + \left| a _{2} - a _{3} \right| + \left| a _{3} - a _{4} \right| + \cdots + \left| a _{11} - a _{12} \right|$ 의 최댓값은? [5점] ① $67$ ② $68$ ③ $69$ ④ $70$ ⑤ $71$

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⑤

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해설

$| a _{1} - a _{2} | + | a _{2} - a _{3} | + \cdots + | a _{11} - a _{12} |$ $=$ (11개의 $a _{i}$ 의 합) $-$ (11개의 $a _{j}$ 의 합) 인데, 1, 2, 3, $\cdots$ , 11, 12 가 각각 최대 2번씩 22개의 수들이다. 그 중 (11개의 $a _{i}$ 의 합)이 최대인 경우는 $12 + 12 + 11 + 11 + 10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 7 = 107$ (11개의 $a _{i}$ 의 합)이 최소인 경우는 $1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 = 36$ 이다. 따라서 구하는 최댓값은 $107 - 36 = 71$ 이다.

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