15와 서로소인 수열

[출제의도] 수열의 규칙을 추론하여 수열의 합을 구한다. $1 \leq n \leq 15$를 만족시키는 자연수 $n$ 중 $15$와 서로소인 자연수 $8$개 $16 \leq n \leq 30$을 만족시키는 자연수 $n$ 중 $15$와 서로소인 자연수 $8$개 $\vdots$ $15 ( k - 1 ) + 1 \leq n \leq 15 k$를 만족시키는 자연수 $n$ 중 $15$와 서로소인 자연수 $8$개 ($k = 1 , 2 , 3 , \cdots$) $a _{16}$은 $16 \leq n \leq 30$을 만족시키는 $15$와 서로소인 자연수 $n$ 중 가장 큰 수이다. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{16} a _{n}$은 $1$부터 $30$까지 자연수 중 $15$와 서로소인 자연수들의 합이다. $1$부터 $30$까지 자연수 중에는 $10$개의 $3$의 배수, $6$개의 $5$의 배수, $2$개의 $15$의 배수가 있다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{16} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{30} n - \sum\limits _{n = 1} ^{10} 3 n - \sum\limits _{n = 1} ^{6} 5 n + \sum\limits _{n = 1} ^{2} 15 n$ $= 240$ [다른 풀이] $a _{1}$$= 1$, $a _{2}$$= 2$, $a _{3}$$= 4$, $a _{4}$$= 7$, $a _{5}$$= 8$, $a _{6}$$= 11$, $a _{7}$$= 13$, $a _{8}$$= 14$이고 $k$($k$$= 1 , 2 , 3 , \cdots , 14$)가 $15$와 서로소이면 $15 + k$도 $15$와 서로소이므로 $a _{9}$$= a _{1} + 15$, $a _{10}$$= a _{2} + 15$, $\cdots$, $a _{16}$$= a _{8} + 15$ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{8} a _{n}$$= 1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 11 + 13 + 14$$= 60$ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{16} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{8} a _{n} + \sum\limits _{n = 9} ^{16} a _{n}$$\displaystyle = 2 \sum\limits _{n=1} ^{8} a _{n} + 15 \times 8$$= 2 \times 60 + 120$ $= 240$