공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

12의 배수 증명 빈칸

문제

다음은 세 자연수 $a , b , c$ ( $a < b < c$ )에 대하여 $P = ( b ^{2} - a ^{2} ) ( c ^{2} - a ^{2} ) ( c ^{2} - b ^{2} )$ 이 $12$ 의 배수임을 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]

$a , b , c$ 를 각각 $2$ 로 나누었을 때 나머지는 $\square {\text{(가)}}$ 같다. 이 중 나머지가 같은 두 수를 $a$ 와 $b$ 라고 하면 $b ^{2} - a ^{2}$ 은 $4$ 의 배수이다. 그러므로 $P$ 도 $4$ 의 배수이다. ……… ㉠ 다음으로, $a ^{2} , b ^{2} , c ^{2}$ 을 $3$ 으로 나누었을 때 나머지를 알아보자. $a ^{2} , b ^{2} , c ^{2}$ 을 각각 $3$ 으로 나눈 나머지는 $\square {\text{(나)}}$ 이므로 $a ^{2} , b ^{2} , c ^{2}$ 중에는 $3$ 으로 나눈 나머지가 같은 것이 적어도 $2$ 개가 있다. 그러므로 $P$ 는 $3$ 의 배수이다. ……… ㉡㉠과 ㉡으로부터 $P$ 는 $12$ 의 배수이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [2점] (가) (나) ①모두 $0$ 또는 $1$ ②모두 $1$ 또는 $2$ ③적어도 $2$ 개가 $0$ 또는 $1$ ④적어도 $2$ 개가 $0$ 또는 $2$ ⑤적어도 $2$ 개가 $1$ 또는 $2$

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③

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해설

세 자연수 $a , b , c$ ( $a < b < c$ )에 대하여 $2$ 로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$ 이므로 적어도 $2$ 개가 같다. 또, $a ^{2} , b ^{2} , c ^{2}$ 을 $3$ 으로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$ 이므로 나머지가 같은 것이 적어도 $2$ 개가 있다.

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