대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

10^a를 3으로 나눈 나머지

문제

$0 < a < 1$ 인 $a$ 에 대하여 $10 ^{a}$ 을 $3$ 으로 나눌 때, 몫이 정수이고 나머지가 $2$ 가 되는 모든 $a$ 의 값의 합은? [4점] ① $3 \log 2$ ② $6 \log 2$ ③ $1 + 3 \log 2$ ④ $1 + 6 \log 2$ ⑤ $2 + 3 \log 2$

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③

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해설

$10 ^{a} = 3 \cdot Q + 2$ ( $Q$ 는 정수, $0 < a < 1$ ) $0 < a = \log ( 3 Q + 2 ) < 1$ $1 < 3 Q + 2 < 10$ $\therefore Q = 0 , 1 , 2$ $\therefore a = \log 2 , \log 5 , \log 8$ $\therefore$ $a$ 의 합 $= \log 2 + \log 5 + \log 8 = 1 + 3 \log 2$

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