대수지수함수와 로그함수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

0<a<b<1 일 때 거듭제곱의 대소 비교

문제

$0 < a < b < 1$ 일 때, 세 수 $a ^{a}$ , $a ^{b}$ , $b ^{a}$ 의 대소 관계로 옳은 것은? [3점] ① $a ^{a} < a ^{b} < b ^{a}$ ② $a ^{b} < a ^{a} < b ^{a}$ ③ $a ^{b} < b ^{a} < a ^{a}$ ④ $b ^{a} < a ^{a} < a ^{b}$ ⑤ $b ^{a} < a ^{b} < a ^{a}$

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②

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해설

$0 < a < 1$ 이므로 함수 $y = a ^{x}$ 은 $x$ 의 값이 증가하면 $y$ 의 값은 감소한다. $a < b$ 이므로 $a ^{a} > a ^{b}$ …㉠ $\displaystyle \frac{b}{a} > 1$ , $a > 0$ 이므로 $\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right) ^{a} > 1$ 즉 $x > 0$ 에서 곡선 $y = b ^{x}$ 이 곡선 $y = a ^{x}$ 보다 위에 있으므로 $a ^{a} < b ^{a}$ …㉡㉠, ㉡에서 $a ^{b} < a ^{a} < b ^{a}$ 따라서 답은 ②이다.

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