유리수인 로그값의 개수

[출제의도] 로그를 이용하여 추론하기 $\displaystyle \log _{a} b = \frac{q}{p}$($p$, $q$는 서로소인 자연수)라 하면 서로 다른 유리수 $\displaystyle \frac{q}{p}$의 개수는 서로 다른 순서쌍 $\left( p , q \right)$의 개수와 같다. $\displaystyle \log _{a} b = \frac{q}{p}$이므로 $\displaystyle b = a ^{\frac{q}{p}}$, $a ^{q} = b ^{p}$ $a$, $b$, $p$, $q$가 모두 자연수이므로, 어떤 자연수 $c$에 대하여 $a = c ^{p}$, $b = c ^{q}$이다. $4 < a < b < 200$이므로 $4 < c ^{p} < c ^{q} < 200$이다. (ⅰ) $c = 2$일 때 $4 < 2 ^{p} < 2 ^{q} < 200$이고 이를 만족시키는 $p$, $q$의 순서쌍을 구하면 $\left( p , q \right)$는 $\left( 3 , 4 \right)$, $\left( 3 , 5 \right)$, $\left( 3 , 7 \right)$, $\left( 4 , 5 \right)$, $\left( 4 , 7 \right)$, $\left( 5 , 6 \right)$, $\left( 5 , 7 \right)$, $\left( 6 , 7 \right)$이므로 $8$개 (ⅱ) $c = 3$일 때 $4 < 3 ^{p} < 3 ^{q} < 200$이고 이를 만족시키는 $p$, $q$의 순서쌍을 구하면 $\left( p , q \right)$는 $\left( 2 , 3 \right)$, $\left( 3 , 4 \right)$이므로 $2$개 (ⅲ) $c = 4$일 때 $4 < 4 ^{p} < 4 ^{q} < 200$이고 이를 만족시키는 $p$, $q$의 순서쌍을 구하면 $\left( p , q \right)$는 $\left( 2 , 3 \right)$이므로 $1$개 (ⅳ) $c = 5$일 때 $4 < 5 ^{p} < 5 ^{q} < 200$이고 이를 만족시키는 $p$, $q$의 순서쌍을 구하면 $\left( p , q \right)$는 $\left( 1 , 2 \right)$, $\left( 1 , 3 \right)$, $\left( 2 , 3 \right)$이므로 $3$개 (ⅴ) $6 \leq c \leq 14$일 때 $4 < c ^{p} < c ^{q} < 200$이고 이를 만족시키는 $p$, $q$의 순서쌍을 구하면 $\left( p , q \right)$는 $\left( 1 , 2 \right)$뿐이므로 모두 (ⅳ)의 경우에 포함된다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 $\left( 2 , 3 \right)$이 세 번, $\left( 3 , 4 \right)$가 두 번 중복되었으므로 서로 다른 순서쌍 $\left( p , q \right)$의 개수는 $\left( 8 + 2 + 1 + 3 \right) - 2 - 1 = 11$ 따라서 $n \left( A \right) = 11$ [다른 풀이] $\displaystyle \log _{a} b = \frac{q}{p}$($p$, $q$는 서로소인 자연수)라 하면 $\displaystyle b = a ^{\frac{q}{p}}$이고 $n \left( A \right)$는 서로 다른 $\displaystyle \frac{q}{p}$의 개수와 같다. (ⅰ) $p = 1$일 때 $a$는 $4 < a < 200$을 만족하는 자연수이고 $4$보다 큰 자연수 중 가장 작은 수는 $5$이므로 $4 < a < a ^{q} < 200$을 만족하는 모든 자연수 $q$는 $4 < 5 < 5 ^{q} < 200$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle \frac{q}{p}$는 $2$, $3$이다. (ⅱ) $p \geq 2$일 때 $\displaystyle a ^{\frac{q}{p}}$이 자연수이므로 $\displaystyle a ^{\frac{1}{p}}$은 자연수이다. 따라서 $a$가 될 수 있는 가장 작은 자연수는 $2 ^{p}$ (단, $p = 2$일 때 $4 < a$에서 $a = 3 ^{2}$) 따라서 $4 < a < 200$이고 $\displaystyle a ^{\frac{1}{p}}$이 자연수인 모든 자연수 $a$에 대하여 $\displaystyle 4 < a < a ^{\frac{q}{p}} < 200$을 만족하는 모든 자연수 $q$는 $\displaystyle 4 < 2 ^{p} < \left( 2 ^{p} \right) ^{\frac{q}{p}} < 200$을 만족한다. 따라서 서로 다른 유리수 $\displaystyle \frac{q}{p}$의 개수는 $4 < 2 ^{p} < 2 ^{q} < 200$을 만족시키는 $\displaystyle \frac{q}{p}$의 개수와 같다. ⅰ) $p = 2$일 때 $4 < 3 ^{2} < 3 ^{q} < 200$을 만족하는 $p$와 서로소인 자연수 $q$는 $3$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{q}{p}$는 $\displaystyle \frac{3}{2}$이다. ⅱ) $p = 3$일 때 $4 < 2 ^{3} < 2 ^{q} < 200$을 만족하는 $p$와 서로소인 자연수 $q$는 $4$, $5$, $7$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{q}{p}$는 $\displaystyle \frac{4}{3}$, $\displaystyle \frac{5}{3}$, $\displaystyle \frac{7}{3}$이다. ⅲ) $p = 4$일 때 $4 < 2 ^{4} < 2 ^{q} < 200$을 만족하는 $p$와 서로소인 자연수 $q$는 $5$, $7$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{q}{p}$는 $\displaystyle \frac{5}{4}$, $\displaystyle \frac{7}{4}$이다. ⅳ) $p = 5$일 때 $4 < 2 ^{5} < 2 ^{q} < 200$을 만족하는 $p$와 서로소인 자연수 $q$는 $6$, $7$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{q}{p}$는 $\displaystyle \frac{6}{5}$, $\displaystyle \frac{7}{5}$이다. ⅴ) $p = 6$일 때 $4 < 2 ^{6} < 2 ^{q} < 200$을 만족하는 $p$와 서로소인 자연수 $q$는 $7$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{q}{p}$는 $\displaystyle \frac{7}{6}$이다. $4 < 2 ^{7} < 200 < 2 ^{8}$이므로 $p \geq 7$일 때 조건을 만족하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle \frac{q}{p}$의 개수는 $11$이다. 따라서 $n \left( A \right) = 11$