유리수 로그값 수열

[출제의도] 로그의 성질을 이해하여 수열을 구하고, 수열의 합 문제를 해결한다. 자연수 $n$에 대하여 $m \ne 2 ^{n - 1}$일 때 $\log _{2} m$, $\log _{4} m$의 값은 유리수가 아니다. 따라서 $f \left( 1 \right) = 0$이고, $m = 2 ^{n - 1}$$\left( n {\geq 2 )} \right.$일 때, $f \left( m \right)$$= f \left( 2 ^{n - 1} \right)$$= \log _{4} 2 ^{n - 1}$$\displaystyle = \frac{n - 1}{2}$ 은 유리수이다. 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항 $a _{n}$은 $a _{1} = 0$, $\displaystyle a _{n} = \frac{n - 1}{2}$$\left( n {\geq 2 )} \right.$ 즉 $\displaystyle a _{n} = \frac{n - 1}{2}$$\left( n \geq 1 \right)$이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k - 1}{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{n \left( n - 1 \right)}{2}$$\displaystyle = \frac{n \left( n - 1 \right)}{4}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} > 50$에서 $\displaystyle \frac{n \left( n - 1 \right)}{4} > 50$ $n \left( n - 1 \right) > 200$ $n = 14$일 때, $n \left( n - 1 \right) = 14 \times 13 = 182$ $n = 15$일 때, $n \left( n - 1 \right) = 15 \times 14 = 210$ 이므로 $n \geq 15$일 때 부등식이 성립한다. 따라서 자연수 $n$의 최솟값은 $15$이다. [참고] 자연수 $m$은 $m \ne 2 ^{n - 1}$($n$은 자연수)일 때 음이 아닌 정수 $k$와 $1$이 아닌 홀수 $p$에 대하여 $m = 2 ^{k} \times p$ 로 나타내어진다. 만약 $\log _{2} m$의 값이 유리수라 가정하면 $\log _{2} m$$= \log _{2} \left( 2 ^{k} \times p \right)$$= k + \log _{2} p$ 즉 $\log _{2} p$의 값이 유리수이어야 한다. 이때 $\displaystyle \log _{2} p = \frac{b}{a}$ ($a$와 $b$는 서로소인 자연수)라 하면 $\displaystyle \log _{2} p = \frac{b}{a}$에서 $\displaystyle 2 ^{\frac{b}{a}} = p$ $2 ^{b} = p ^{a}$ …… ㉠ 이때 ㉠의 좌변은 짝수이고, 우변은 홀수이므로 모순이다. 따라서 $\log _{2} p$의 값이 유리수가 아니므로 $\log _{2} m$의 값도 유리수가 아니다.