유리수 좌표 정삼각형

ⅰ) $[ \text{(가)} ] =$유리수 ⅱ) 세 꼭짓점의 좌표가 모두 유리수일 때 한 꼭짓점이 원점에 오도록 평행이동하면 다음 꼭짓점의 좌표도 모두 유리수가 된다. $\therefore [ \text{(나)} ] =$유리수 ⅲ) 점 $B ( c , d )$는 점 $A ( a , b )$를 원점을 중심으로 $60 ^{\circ}$만큼 회전이동한 점이므로 $\displaystyle \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$$\displaystyle {\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \cos 60 ^\circ & & - \sin 60 ^\circ \\ \sin 60 ^\circ & & \cos 60 ^\circ \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} {\begin{pmatrix} 1 & & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} {\begin{pmatrix} a - \sqrt{3} b \\ \sqrt{3} a + b \end{pmatrix}}$ $\displaystyle \therefore c = \frac{1}{2} a - \frac{\sqrt{3}}{2} b , d = \frac{\sqrt{3}}{2} a + \frac{1}{2} b$ $\displaystyle c = \frac{1}{2} a - \frac{\sqrt{3}}{2} b$에서 $b = 0$일 때 $a$가 유리수이므로 $c$는 유리수가 되고, $b \ne 0$일 때 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} b$는 무리수이고 $\displaystyle \frac{1}{2} a$는 유리수이므로 $c$는 무리수가 된다. $\displaystyle d = \frac{\sqrt{3}}{2} a + \frac{1}{2} b$에서 $b = 0$이면 $\displaystyle d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$이고 $a$는 $0$이 아닌 유리수이므로 $d$는 무리수가 된다. $\therefore [ \text{(다)} ] =$무리수